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　　2025年广东省初中学业水平考试数学仿真试卷(三)一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. －3的绝对值是(B) A. B. 3 C. － D. －32. 某病毒直径大约为80 nm(1 nm＝0.000 001 mm)，数据“80 nm”用科学记数法表示为(C) A. 0.8×10－7 mm B. 8×10－6 mm C. 8×10－5 mm D. 80×10－6 mmBC3. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠A＝∠D，BE＝CF，请补充一个条件，使△ABC≌△DEF，可以补充的条件是(C) A. AB＝DE B. AC＝DF C. AB∥DE D. BC＝EFC4. 关于x的一元二次方程x2－4x＋k＝0无实数解，则k的取值范围是(A) A. k＞4 B. k＜4 C. k＜－4 D. k＞1A5. 某小区14户家庭的日用电量统计如下表： 日用电量/kW·h 3 4 5 6 7 8 户数 1 6 3 2 1 1这14户家庭日用电量的众数、中位数分别是(A) A. 4 kW·h，4.5 kW·h B. 4 kW·h，5.5 kW·h C. 6 kW·h，1.5 kW·h D. 1 kW·h，1.5 kW·hA6. 如图，一次函数y1＝x－1与反比例函数y2＝ 的图象交于点A(2，1)，B(－1，－2)，则使y1＞y2的x的取值范围是(B) A. x＞2 B. x＞2或－1＜x＜0 C. －1＜x＜2 D. x＞2或x＜－1第6题图B7. 如图，数轴上A，B两点表示的数分别为1， ，则☉A的直径为(C) A. －1 B. 1－ C. 2 －2 D. 2－2 第7题图C8. 如图是一个圆锥形冰淇淋外壳，已知其母线 cm，则这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为(A) A. 108° B. 120° C. 144° D. 150°第8题图A9. 如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5 cm，且tan∠EFC＝ ，那么矩形ABCD的周长为(D) A. 18 cm B. 25 cm C. 32 cm D. 36 cm第9题图D10. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的图象如图所示，下列五个结论：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③3a＋c＞0；④(a＋c)2＜b2；⑤2a－b＜c.其中正确的结论有(C) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第10题图C二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11. 计算： ＋ ＝  5 .12. 一组数据3，2，1的方差是 ⁠.13. 如图，AB是☉O的直径，∠ACD＝25°，则∠BAD的度数为 ⁠.第13题图5 65°14. 若m＋n＝5，mn＝3，则m2＋n2＝ ⁠.15. 如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，tan∠EAC＝ ，则BD＝  3－ .第15题图193－ 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分.16. 先化简，再求值：(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中x＝ .解：原式＝4x2－9－4x2＋4x＋x2－4x＋4＝x2－5.当x＝ 时，原式＝ －5＝－ .解：原式＝4x2－9－4x2＋4x＋x2－4x＋4＝x2－5.当x＝ 时，原式＝ －5＝－ .17. 某校组织“衫衫来了，爱心义卖”活动，购进了黑、白两种纯色文化衫共100件，进行DIY手绘设计后出售，每种文化衫的成本和售价如下表.假设文化衫全部售出，共获利720元，两种文化衫各购进了多少件？ 项目 白色文化衫 黑色文化衫 成本/元 25 28 售价/元 31 36解：设购进黑色文化衫x件，则购进白色文化衫(100－x)件.根据题意，得(36－28)x＋(31－25)·(100－x)＝720.解：设购进黑色文化衫x件，则购进白色文化衫(100－x)件.根据题意，得(36－28)x＋(31－25)·(100－x)＝720.解得x＝60.∴100－x＝100－60＝40.答：购进黑色文化衫60件，购进白色文化衫40件.解得x＝60.∴100－x＝100－60＝40.答：购进黑色文化衫60件，购进白色文化衫40件.18. 如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的.小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单位：cm)随着碗的数量x(单位：个)的变化规律.下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 y/cm 6 8.4 10.8 13.2(1)依据小亮测量的数据，写出y与x之间的一次函数解析式；解：(1)∵y是x的一次函数，设y＝kx＋b，根据题意，得 解x之间的函数解析式为y＝2.4x＋3.6.解：(1)∵y是x的一次函数，设y＝kx＋b，根据题意，得 解得 ∴y与x之间的函数解析式为y＝2.4x＋3.6.18. 如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的.小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单位：cm)随着碗的数量x(单位：个)的变化规律.下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 y/cm 6 8.4 10.8 13.2(2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8 cm，此时碗的数量最多为多少个？解：(2)由题意可知，y≤28.8，则2.4x＋3.6≤28.8.解得x≤10.5.∴x的最大整数解为10.答：碗的数量最多为10个.解：(2)由题意可知，y≤28.8，则2.4x＋3.6≤28.8.解得x≤10.5.∴x的最大整数解为10.答：碗的数量最多为10个.四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.19. 综合与实践.数学活动课上，同学们用尺规作图法探究用菱形的一条对角线来作菱形.如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，且顶点B在射线)【动手操作】请用尺规把这个菱形补充完整；(保留作图痕迹，不要求写作法)解：(1)如图，菱形ABCD即为所求. 解：(1)如图，菱形ABCD即为所求.四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.19. 综合与实践.数学活动课上，同学们用尺规作图法探究用菱形的一条对角线来作菱形.如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，且顶点B在射线)【拓展延伸】若AC＝2 ，∠CAB＝30°，求菱形ABCD的面积.解：(2)如图，设AC，BD交于点O. ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. ∴OA＝OC＝ .∵∠OAB＝30°，∴OD＝OB＝OA·tan 30°＝1.∴BD＝2OD＝2.∴S菱形ABCD＝ ×2×2 ＝2 .解：(2)如图，设AC，BD交于点O. ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. ∴OA＝OC＝ .∵∠OAB＝30°，∴OD＝OB＝OA·tan 30°＝1.∴BD＝2OD＝2.∴S菱形ABCD＝ ×2×2 ＝2 .20. 为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生的成绩进行统计，按成绩分为如下5组(满分100分)，A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如图所示的不完整的统计图.(1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数直方图中m＝ ，所抽取学生成绩的中位数落在 组；40060D(2)补全学生成绩频数直方图；解：(2)补全学生成绩频数直方图如图.20. 为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生的成绩进行统计，按成绩分为如下5组(满分100分)，A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如图所示的不完整的统计图.(3)若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3 000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人；解：(3)3 000× ＝1 680(人).答：估计该校成绩优秀的学生有1 680人.解：(3)3 000× ＝1 680(人).答：估计该校成绩优秀的学生有1 680人.20. 为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生的成绩进行统计，按成绩分为如下5组(满分100分)，A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如图所示的不完整的统计图.(4)学校将从获得满分的5名同学(其中有2名男生，3名女生)中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用画树状图或列表的方法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率.解：(4)画树状图如图. 共有20种等可能的结果，恰好抽中一名男生和一名女生的结果有12种，∴恰好抽中一名男生和一名女生的概率是 ＝ .解：(4)画树状图如图.共有20种等可能的结果，恰好抽中一名男生和一名女生的结果有12种，∴恰好抽中一名男生和一名女生的概率是 ＝ .21. 实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管AB＝30 cm，BE＝ AB，试管倾斜角α为10°，经测量，得DE＝21.7 cm，MN＝8 cm，∠ABM＝145°.(1)求点B到CF的距离；解：(1)如图，过点B作BP⊥DE于点P，过点B作BH⊥CF于点H，根据题意，得在Rt△BPE中，∠EBP＝α＝10°，BE＝ AB＝10 cm.∴BP＝BE· cos 10°≈9.8 cm，EP＝BE· sin 10°≈1.7 cm.∵DE＝21.7 cm，∴PD＝DE－EP＝21.7－1.7＝20(cm).∵∠BPD＝∠PDA＝∠BHD＝90°，∴四边形BPDH是矩形.∴BH＝PD＝20 cm.∴点B到CF的距离为20 cm.解：(1)如图，过点B作BP⊥DE于点P，过点B作BH⊥CF于点H，根据题意，得在Rt△BPE中，∠EBP＝α＝10°，BE＝ AB＝10 cm.∴BP＝BE· cos 10°≈9.8 cm，EP＝BE· sin 10°≈1.7 cm.∵DE＝21.7 cm，∴PD＝DE－EP＝21.7－1.7＝20(cm).∵∠BPD＝∠PDA＝∠BHD＝90°，∴四边形BPDH是矩形.∴BH＝PD＝20 cm.∴点B到CF的距离为20 cm.21. 实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管AB＝30 cm，BE＝ AB，试管倾斜角α为10°，经测量，得DE＝21.7 cm，MN＝8 cm，∠ABM＝145°.(2)实验时，当导气管紧贴水槽MN时，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF(点C，D，N，F在同一条直线上)，求线段DN的长度.(参考数据： sin 10°≈0.17， cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18)解：(2)如图，过点M作MQ⊥BH于点Q，∴四边形MNHQ为矩形.∵MN＝8 cm，∴QH＝8 cm.∴BQ＝BH－QH＝20－8＝12(cm).∵∠ABM＝145°，∴∠QBM＝∠ABM－10°－90°＝45°.∴∠QMB＝90°－∠QBM＝45°＝∠QBM. ∴QM＝BQ＝12 cm.∴DN＝DH＋HN＝BP＋QM＝9.8＋12＝21.8(cm).∴线)如图，过点M作MQ⊥BH于点Q，∴四边形MNHQ为矩形.∵MN＝8 cm，∴QH＝8 cm.∴BQ＝BH－QH＝20－8＝12(cm).∵∠ABM＝145°，∴∠QBM＝∠ABM－10°－90°＝45°.∴∠QMB＝90°－∠QBM＝45°＝∠QBM. ∴QM＝BQ＝12 cm.∴DN＝DH＋HN＝BP＋QM＝9.8＋12＝21.8(cm).∴线 cm.五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分.22. 某市水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光.据工作人员介绍，新建摩天轮直径为100 m，最低点距离地面1 m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点)，游客在距离地面最近的位置进舱，运行一圈时间恰好是13 min 14 s，寓意“一生一世”.小明从摩天轮的底部出发开始观光，摩天轮转动1周.(1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 m；101五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分.22. 某市水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光.据工作人员介绍，新建摩天轮直径为100 m，最低点距离地面1 m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点)，游客在距离地面最近的位置进舱，运行一圈时间恰好是13 min 14 s，寓意“一生一世”.小明从摩天轮的底部出发开始观光，摩天轮转动1周.(2)在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱(如图，此时小明和小亮分别位于P，Q两点).①求两人所在座舱在摩天轮上的距离(弧PQ的长)；解：(2)①∵圆周上均匀的安装24个座舱，∴每相邻两个座舱之间所对的圆心角为 ＝15°，∴∠POQ＝4×15°＝60°.∴ 的长为 ＝ π(m).答：两人所在座舱在摩天轮上的距离(弧PQ的长)为 π m.解：(2)①∵圆周上均匀的安装24个座舱，∴每相邻两个座舱之间所对的圆心角为 ＝15°，∴∠POQ＝4×15°＝60°.∴ 的长为 ＝ π(m).答：两人所在座舱在摩天轮上的距离(弧PQ的长)为 π m.22. 某市水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光.据工作人员介绍，新建摩天轮直径为100 m，最低点距离地面1 m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点)，游客在距离地面最近的位置进舱，运行一圈时间恰好是13 min 14 s，寓意“一生一世”.小明从摩天轮的底部出发开始观光，摩天轮转动1周.(2)在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱(如图，此时小明和小亮分别位于P，Q两点).②求此时两人所在座舱距离地面的高度差；解：(2)②如图，过点P作PN⊥OQ于点N，根据题意，得两人所在座舱距离地面的高度差就是NQ的长.在Rt△PON中，OP＝50 m，∠PON＝60°，∴ON＝ OP＝25 m.∴NQ＝OQ－ON＝25 m.答：两人所在座舱距离地面的高度差为25 m.解：(2)②如图，过点P作PN⊥OQ于点N，根据题意，得两人所在座舱距离地面的高度差就是NQ的长.在Rt△PON中，OP＝50 m，∠PON＝60°，∴ON＝ OP＝25 m.∴NQ＝OQ－ON＝25 m.答：两人所在座舱距离地面的高度差为25 m.22. 某市水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光.据工作人员介绍，新建摩天轮直径为100 m，最低点距离地面1 m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点)，游客在距离地面最近的位置进舱，运行一圈时间恰好是13 min 14 s，寓意“一生一世”.小明从摩天轮的底部出发开始观光，摩天轮转动1周.(3)受周围建筑物的影响，当乘客与地面的距离不低于76 m时，可视为最佳观赏位置，求最佳观赏时间有多长.(不足1 min按1 min记)解：(3)如图，当DM＝76 m时，对应的座舱为点B，C，当座舱在 上运动时，观赏位置最佳，此时，OD＝76－1－50＝25(m).∵OB＝OC＝50 m，∴∠BOD＝∠COD＝60°.∴ 的长是圆周长的 .∴最佳观赏位置所持续的时间为13 min 14 s的 ，约为5 min.答：最佳观赏时间约有5 min.解：(3)如图，当DM＝76 m时，对应的座舱为点B，C，当座舱在 上运动时，观赏位置最佳，此时，OD＝76－1－50＝25(m).∵OB＝OC＝50 m，∴∠BOD＝∠COD＝60°.∴ 的长是圆周长的 .∴最佳观赏位置所持续的时间为13 min 14 s的 ，约为5 min.答：最佳观赏时间约有5 min.23. 综合与探究.如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线)与x轴的另一个交点为点B(－1，0)，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F. (1)求抛物线)直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，则点A，C的坐标分别为(4，0)，(0，－2).∵抛物线与x轴的另一交点为点B(－1，0)，∴抛物线的解析式为y＝a(x－4)(x＋1) ＝a(x2－3x－4)，将点C(0，－2)代入，得－4a＝－2，解得a＝ .∴抛物线)直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，则点A，C的坐标分别为(4，0)，(0，－2).∵抛物线与x轴的另一交点为点B(－1，0)，∴抛物线的解析式为y＝a(x－4)(x＋1) ＝a(x2－3x－4)，将点C(0，－2)代入，得－4a＝－2，解得a＝ .∴抛物线. 综合与探究.如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线)与x轴的另一个交点为点B(－1，0)，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F. (2)点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；解：(2)点D的坐标为(4±2 ，0)或(－4，0).解：(2)点D的坐标为(4±2 ，0)或(－4，0).23. 综合与探究.如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线)与x轴的另一个交点为点B(－1，0)，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F. (3)当EF＝AC时，求点P的坐标；解：(3)设点P ，当y＝ x2－ x－2＝ x－2，则x＝x2－3x，即点E(x2－3x， x2－ x－2).∵点E，C，F，A共线，EF＝AC，则xF－xE＝xA－xC，即x－(x2－3x)＝4－0，解得x＝2.∴点P的坐标为(2，－3).解：(3)设点P ，当y＝ x2－ x－2＝ x－2，则x＝x2－3x，即点E(x2－3x， x2－ x－2).∵点E，C，F，A共线，EF＝AC，则xF－xE＝xA－xC，即x－(x2－3x)＝4－0，解得x＝2.∴点P的坐标为(2，－3).23. 综合与探究.如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线)与x轴的另一个交点为点B(－1，0)，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F. (4)在(3)的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为点M，连接NA，MP，则NA＋MP的最小值为 ⁠. $$2025年广东省初中学业水平考试数学仿真试卷(六)一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如果二次根式 有意义，那么实数a的取值范围是(B) A. a＞1 B. a≥1 C. a＜1 D. a≤12. 数轴上表示－2 024的点到原点的距离是(A) A. 2 024 B. C. －2 024 D. － BA3. 下列运算正确的是(D) A. 2 － ＝2 B. (a＋1)2＝a2＋1 C. (a2)3＝a5 D. 2a2·a＝2a34. 某病毒的直径是120 nm(1 nm＝10－9 m)，120 nm用科学记数法可表示为(C) A. 12×10－8 m B. 1.2×10－2 m C. 1.2×10－7 m D. 120×10－9 mDC5. 将一副常规的三角尺按如图所示方式放置，则图中∠AOB的度数为(C) A. 75° B. 95° C. 105° D. 120°第5题图C6. 某校七年级(1)班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如下表所示.则这个班学生成绩的众数、中位数分别是(D) 成绩/分 60 70 80 90 100 人数 3 9 13 16 9 A. 90，80 B. 16，85D C. 16，24.5 D. 90，857. 如图是正方体的一种不完整的表面展开图，下面是四位同学补画的情况(图中的阴影部分)，其中补画正确的是(A) A B C D第7题图A8. 如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝14，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，则EF的长是(A) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6第8题图A9. 如图，在☉O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为(B) A. 70° B. 55° C. 45° D. 35°第9题图B10. 如图，点A在双曲线)上，连接OA，作OB⊥OA，交双曲线)于点B，连接AB. 若 sin B＝ ，则k的值为(D) A. 1 B. 2 C. D. 第10题图D二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11. 已知x＋y＝4，x－y＝6，则x2－y2＝ ⁠.12. 计算： ＋ ＝ ⁠.13.6个全等的小正方形按如图方式放置在△ABC中，则tan B的值是 ⁠.第13题图242 14. 如图，电路图上有A，B，C 3个开关和1个小灯泡，闭合开关C或同时闭合开关A，B都可以使小灯泡发亮.任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是 ⁠.第14题图 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，AnBnCnCn－1按如图所示的方式放置，其中点A1，A2，A3，…，An均在一次函数y＝kx＋b的图象上，点C1，C2，C3，…，Cn均在x轴上，若点B1的坐标为(1，1)，点B2的坐标为(3，2)，则点A4的坐标为 ⁠.第15题图(7，8)三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分.16. 解不等式组： 解：解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤3，∴不等式组的解集为－1＜x≤3.解：解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤3，∴不等式组的解集为－1＜x≤3.17. 如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点.求证：四边形AECF是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD. ∵点E，F分别是边AB，CD的中点，∴AE＝CF. ∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD. ∵点E，F分别是边AB，CD的中点，∴AE＝CF. ∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形.18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°.(1)实践与操作：在边AC上找一点D(点C，D不重合)，使得△ABD为等腰三角形；(尺规作图，保留作图痕迹)解：(1)如图，点D即为所求.解：(1)如图，点D即为所求.18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°.(2)猜想与证明：在(1)的条件下，试猜想BD，BC之间的数量关系，并加以证明.解：(2)BD＝BC. 解：(2)BD＝BC. 证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝ ×(180°－36°)＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝ ∠ABC＝36°.∴∠BDC＝180°－∠C－∠DBC＝72°.∴∠C＝∠BDC. ∴BD＝BC. 证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝ ×(180°－36°)＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝ ∠ABC＝36°.∴∠BDC＝180°－∠C－∠DBC＝72°.∴∠C＝∠BDC. ∴BD＝BC. 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.19. 为了解青少年健康状况，某班对50 名学生的体育达标情况进行了测试，满分为50分.根据测试成绩，绘制出不完整的频数分布表和不完整的频数分布直方图如下.请结合图表完成下列各题： 组别 成绩x/分 频数/人数 第一组 5≤x＜15 1 第二组 15≤x＜25 5 第三组 25≤x＜35 12 第四组 35≤x＜45 m 第五组 45≤x＜55 14(1)求表中m的值；解：(1)m＝50－1－5－12－14＝18.解：(1)m＝50－1－5－12－14＝18.四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.19. 为了解青少年健康状况，某班对50 名学生的体育达标情况进行了测试，满分为50分.根据测试成绩，绘制出不完整的频数分布表和不完整的频数分布直方图如下.请结合图表完成下列各题： 组别 成绩x/分 频数/人数 第一组 5≤x＜15 1 第二组 15≤x＜25 5 第三组 25≤x＜35 12 第四组 35≤x＜45 m 第五组 45≤x＜55 14(2)请把频数分布直方图补充完整；解：(2)如图. 解：(2)如图.四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.19. 为了解青少年健康状况，某班对50 名学生的体育达标情况进行了测试，满分为50分.根据测试成绩，绘制出不完整的频数分布表和不完整的频数分布直方图如下.请结合图表完成下列各题： 组别 成绩x/分 频数/人数 第一组 5≤x＜15 1 第二组 15≤x＜25 5 第三组 25≤x＜35 12 第四组 35≤x＜45 m 第五组 45≤x＜55 14 (3)若测试成绩不低于35分为达标，则本次测试的达标率是多少？解：(3) ×100％＝64％.∴达标率为64％.解：(3) ×100％＝64％.∴达标率为64％.(4)第三组12名学生中有A，B，C，D四名女生，现将这12名学生平均分成两组进行竞赛练习，每组两名女生，请用画树状图法或列表法求B，C两名女生分在同一组的概率.解：(4)画树状图如图.四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.19. 为了解青少年健康状况，某班对50 名学生的体育达标情况进行了测试，满分为50分.根据测试成绩，绘制出不完整的频数分布表和不完整的频数分布直方图如下.请结合图表完成下列各题： 组别 成绩x/分 频数/人数 第一组 5≤x＜15 1 第二组 15≤x＜25 5 第三组 25≤x＜35 12 第四组 35≤x＜45 m 第五组 45≤x＜55 14 共有12种等可能的结果，其中B，C两名女生分在同一组的结果有2种.∴B，C两名女生分在同一组的概率为 ＝ .解：(4)画树状图如图.共有12种等可能的结果，其中B，C两名女生分在同一组的结果有2种.∴B，C两名女生分在同一组的概率为 ＝ .20. 某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果.经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 水果种类 进价/(元/kg) 售价/(元/kg) 甲 a 22 乙 b 25该超市购进甲种水果18 kg和乙种水果6 kg需366元；购进甲种水果30 kg和乙种水果15 kg需705元.(1)求a，b的值；解：(1)根据题意，得 解得 ∴a＝14，b＝19.解：(1)根据题意，得 解得 ∴a＝14，b＝19.20. 某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果.经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 水果种类 进价/(元/kg) 售价/(元/kg) 甲 a 22 乙 b 25该超市购进甲种水果18 kg和乙种水果6 kg需366元；购进甲种水果30 kg和乙种水果15 kg需705元.(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150 kg进行销售，其中甲种水果的数量不少于50 kg，且不大于120 kg.实际销售时，若甲种水果超过80 kg，则超过部分按每千克降价5元销售.求超市当天销售完这两种水果获得的利润y(单位：元)与购进甲种水果的数量x(单位：kg)之间的函数关系式(写出自变量x的取值范围)，并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润.解：(2)当50≤x≤80时，y＝(22－14)x＋(25－19)(150－x)＝2x＋900.∵2＞0，∴y随x的增大而增大.∴当x＝80时，y取得最大值，最大值为2×80＋900＝1 060(元).当80＜x≤120时，y＝(22－14)×80＋(22－14－5)(x－80)＋(25－19)(150－x)＝－3x＋1 300.∵－3＜0，∴y随x的增大而减小.∴y的值不超过－3×80＋1 300＝ 1 060(元).综上所述，当购进甲水果80 kg，乙水果70 kg时，获得的利润最大，最大利润为1 060元.解：(2)当50≤x≤80时，y＝(22－14)x＋(25－19)(150－x)＝2x＋900.∵2＞0，∴y随x的增大而增大.∴当x＝80时，y取得最大值，最大值为2×80＋900＝1 060(元).当80＜x≤120时，y＝(22－14)×80＋(22－14－5)(x－80)＋(25－19)(150－x)＝－3x＋1 300.∵－3＜0，∴y随x的增大而减小.∴y的值不超过－3×80＋1 300＝ 1 060(元).综上所述，当购进甲水果80 kg，乙水果70 kg时，获得的利润最大，最大利润为1 060元.21. 如图，一次函数y＝x＋10的图象与反比例函数y＝ (k为常数且k≠0)的图象相交于A(－1，m)，B两点.(1)求反比例函数的解析式；解：(1)将点A(－1，m)代入一次函数y＝x＋10，得m＝－1＋10＝9.则点A(－1，9).将点A(－1，9)代入y＝ ，得 ＝9.解得k＝－9.∴反比例函数的解析式为y＝－ .解：(1)将点A(－1，m)代入一次函数y＝x＋10，得m＝－1＋10＝9.则点A(－1，9).将点A(－1，9)代入y＝ ，得 ＝9.解得k＝－9.∴反比例函数的解析式为y＝－ .21. 如图，一次函数y＝x＋10的图象与反比例函数y＝ (k为常数且k≠0)的图象相交于A(－1，m)，B两点.(2)当一次函数的值大于反比例函数的值时，求x的取值范围；解：(2)根据题意，得 解得 或 ∴点B(－9，1).根据图象，得当一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围是－9＜x＜－1或x＞0.解：(2)根据题意，得 解得 或 ∴点B(－9，1).根据图象，得当一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围是－9＜x＜－1或x＞0.21. 如图，一次函数y＝x＋10的图象与反比例函数y＝ (k为常数且k≠0)的图象相交于A(－1，m)，B两点.(3)将一次函数y＝x＋10的图象沿y轴向下平移b个单位长度(b＞0)，使平移后的图象与反比例函数y＝ 的图象有且只有一个交点，求b的值.解：(3)∵一次函数y＝x＋10的图象沿y轴向下平移b个单位长度，∴平移后的一次函数为y＝x＋10－b.∵一次函数y＝x＋10－b的图象与反比例函数y＝－ 的图象有且只有一个交点，∴x＋10－b＝－ .∴x2＋(10－b)x＋9＝0.则Δ＝(10－b)2－4×9＝0.解得b＝4或16，∴b的值为4或16.解：(3)∵一次函数y＝x＋10的图象沿y轴向下平移b个单位长度，∴平移后的一次函数为y＝x＋10－b.∵一次函数y＝x＋10－b的图象与反比例函数y＝－ 的图象有且只有一个交点，∴x＋10－b＝－ .∴x2＋(10－b)x＋9＝0.则Δ＝(10－b)2－4×9＝0.解得b＝4或16，∴b的值为4或16.五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分.22. 有一建筑的一面墙近似呈抛物线形，该抛物线 m，建立如图所示的平面直角坐标系.现计划给该墙面安装门窗，已经确定需要安装矩形门框ABCD(点B，C在抛物线上，边AD在地面上)，针对窗框的安装，设计师给出了两种设计方案.方案一：如图1，在门框的两边加装两个矩形窗框(点G，H在抛物线，在门框的上方加装一个矩形的窗框(点G，H在抛物线)求该抛物线)根据题意，得抛物线)，设所求抛物线的函数解析式为y＝a(x－4)2＋4.把点(0，0)代入函数解析式中，得0＝a(0－4)2＋4，解得a＝－ .∴该抛物线的函数解析式为y ＝－ (x－4)2＋4.解：(1)根据题意，得抛物线)，设所求抛物线的函数解析式为y＝a(x－4)2＋4.把点(0，0)代入函数解析式中，得0＝a(0－4)2＋4，解得a＝－ .∴该抛物线的函数解析式为y ＝－ (x－4)2＋4.五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分.22. 有一建筑的一面墙近似呈抛物线形，该抛物线 m，建立如图所示的平面直角坐标系.现计划给该墙面安装门窗，已经确定需要安装矩形门框ABCD(点B，C在抛物线上，边AD在地面上)，针对窗框的安装，设计师给出了两种设计方案.方案一：如图1，在门框的两边加装两个矩形窗框(点G，H在抛物线，在门框的上方加装一个矩形的窗框(点G，H在抛物线)若要求门框AB的高度为3 m，判断哪种方案的透光面积(窗框和门框的面积和)较大？(窗框与门框的宽度忽略不计)(2)当y＝3时，3＝－ (x－4)2＋4，解得x1＝2，x2＝6.∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(2，3).BC＝4 m.方案一：∵AE＝DF＝1 m，∴点E的坐标为(1，0).∴点G的横坐标为1，当x＝1时，y＝－ ×(1－4)2＋4＝ ，∴EG＝ .∴S矩形AEGI＝S矩形FDNH＝ ×1＝ (m2).∴S矩形AEGI＋S矩形FDNH＝ ×2＝ (m2).方案二：∵BE＝CF＝1 m，∴点E的坐标为(3，3).∴点G的横坐标为3.当x＝3时，y＝－ ×(3－4)2＋4＝ ，∴EG＝ －3＝ (m).解：(2)当y＝3时，3＝－ (x－4)2＋4，解得x1＝2，x2＝6.∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(2，3).BC＝4 m.方案一：∵AE＝DF＝1 m，∴点E的坐标为(1，0).∴点G的横坐标为1，当x＝1时，y＝－ ×(1－4)2＋4＝ ，∴EG＝ .∴S矩形AEGI＝S矩形FDNH＝ ×1＝ (m2).∴S矩形AEGI＋S矩形FDNH＝ ×2＝ (m2).方案二：∵BE＝CF＝1 m，∴点E的坐标为(3，3).∴点G的横坐标为3.当x＝3时，y＝－ ×(3－4)2＋4＝ ，∴EG＝ －3＝ (m).∵EF＝BC－BE－CF＝2(m)，∴S矩形GEFH＝EF×GE＝2× ＝ (m2).∵ ＞ ，∴方案一透光面积较大.∵EF＝BC－BE－CF＝2(m)，∴S矩形GEFH＝EF×GE＝2× ＝ (m2).∵ ＞ ，∴方案一透光面积较大.23. 综合与实践.素材：一张边长为4的正方形纸片.步骤1：对折正方形纸片ABCD，使AB与CD重合，得到折痕EF，把纸片展平.步骤2：再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折痕PE，点P在边AB上，过点P作AB的垂线，若点H落在边CD上，直接写出∠APE的度数；解：(1)∠APE＝30°.23. 综合与实践.素材：一张边长为4的正方形纸片.步骤1：对折正方形纸片ABCD，使AB与CD重合，得到折痕EF，把纸片展平.步骤2：再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折痕PE，点P在边AB上，过点P作AB的垂线，设AP＝x，PH＝y，试求y关于x的函数解析式；解：(2)如图1，过点H作HM⊥AD于点M，则四边形MAPH为矩形.∴MH＝AP，∠MHP＝90°.由折叠的性质，得∠A＝∠EGP＝90°，AP＝PG，∴∠PGH＝∠HME＝90°，PG＝HM. ∵∠EHM＋∠GHP＝∠GHP＋∠HPG＝90°，∴∠EHM＝∠HPG. ∴△HME≌△PGH. ∴HE＝PH＝y.∴HG＝HE－EG＝y－2.在Rt△PGH中，由勾股定理，得HG2＋PG2＝PH2.解：(2)如图1，过点H作HM⊥AD于点M，则四边形MAPH为矩形.∴MH＝AP，∠MHP＝90°.由折叠的性质，得∠A＝∠EGP＝90°，AP＝PG，∴∠PGH＝∠HME＝90°，PG＝HM. ∵∠EHM＋∠GHP＝∠GHP＋∠HPG＝90°，∴∠EHM＝∠HPG. ∴△HME≌△PGH. ∴HE＝PH＝y.∴HG＝HE－EG＝y－2.在Rt△PGH中，由勾股定理，得HG2＋PG2＝PH2.∵PG＝AP＝x，∴(y－2)2＋x2＝y2.整理，得y＝ x2＋1.∴y关于x的函数表达式为y＝ x2＋1(0＜x≤4).∵PG＝AP＝x，∴(y－2)2＋x2＝y2.整理，得y＝ x2＋1.∴y关于x的函数表达式为y＝ x2＋1(0＜x≤4).23. 综合与实践.素材：一张边长为4的正方形纸片.步骤1：对折正方形纸片ABCD，使AB与CD重合，得到折痕EF，把纸片展平.步骤2：再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折痕PE，点P在边AB上，过点P作AB的垂线，☉O为△APE的外接圆，若☉O与边BC相切，求GH的长.解：(3)如图2，设☉O与边BC相切于点M，连接MO并延长，交边AD于点N，设AP＝x，PH＝y，由(2)，知y＝ x2＋1(0＜x≤4)，∵☉O与边BC相切于点M，∴MO⊥BC. ∴MN⊥AD，即ON⊥AE. ∴AN＝EN＝ AE＝1.∵∠EAP＝90°，∴PE是☉O的直径.解：(3)如图2，设☉O与边BC相切于点M，连接MO并延长，交边AD于点N，设AP＝x，PH＝y，由(2)，知y＝ x2＋1(0＜x≤4)，∵☉O与边BC相切于点M，∴MO⊥BC. ∴MN⊥AD，即ON⊥AE. ∴AN＝EN＝ AE＝1.∵∠EAP＝90°，∴PE是☉O的直径.∴PO＝EO. ∴ON是△EAP的中位线.∴ON＝ AP＝ x.∴OE＝OM＝MN－ON＝4－ x.在Rt△OEN中，ON2＋EN2＝OE2，即 ＋12＝ ，解得x＝ .∴GH＝EH－EG＝PH－EG＝ x2＋1－2＝ .∴PO＝EO. ∴ON是△EAP的中位线.∴ON＝ AP＝ x.∴OE＝OM＝MN－ON＝4－ x.在Rt△OEN中，ON2＋EN2＝OE2，即 ＋12＝ ，解得x＝ .∴GH＝EH－EG＝PH－EG＝ x2＋1－2＝ .$$2025年广东省初中学业水平考试数学仿真试卷(四)一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. －2 025的相反数是(C) A. －2 025 B. C. 2 025 D. － 2. 据测算，世博会召开时，上海使用清洁能源可减少二氧化碳的排放量约16万吨，将16万吨用科学记数法表示为(C) A. 1.6×103吨 B. 1.6×104吨 C. 1.6×105吨 D. 16×106吨CC3. 下列运算正确的是(D) A. 2x＋6y＝8xy B. 4y3－y3＝3 C. 6x2－5x＝x D. 9ab－9ba＝04. 将如图所示的展开图沿虚线折成一个正方体(不允许剪开)，与“建”字相对的汉字是(C) A. 生 B. 态DC C. 家 D. 园5. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是(C) A. 8 B. 9 C. 10 D. 116. 如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝45°，则∠2的度数是(B) A. 135 B. 105° C. 95° D. 75°CB7. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两.问牛、羊每头各值金多少？”若设每头牛值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是(A) A. B. C. D. A8. 关于x的一元二次方程mx2＋6x＝9有两个实数根，则m的取值范围为(A) A. m≥－1且m≠0 B. m≤1且m≠0 C. m≤1 D. m≥－1A9. 菱形是日常生活中常见的图形，如伸缩衣架(如图1)等，为兼顾美观性和实用性，活动角α的取值范围宜为60°≤α≤120°(如图2)，亮亮选购了折叠后如图3所示的伸缩衣架，则其拉伸长度AB的适宜范围最接近(B) A. 30 cm≤AB≤45 cm B. 45 cm≤AB≤45 cm C. 45 cm≤AB≤30 cm D. 30 cm≤AB≤45 cmB10. 如图，等边三角形ABC，等边三角形DFE的边长分别为3和2.开始时点A与点D重合，DE在AB上，DF在AC上，△DEF沿AB向右平移，当点D到达点B时停止.在此过程中，设△ABC，△DEF重合部分的面积为y，△DEF移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为(C) A B C DC二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11. 若1－a＝2，则a＝ ⁠.12. 一元二次方程(x－5)(x－7)＝0的解为 ⁠.13. 某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动.小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颖准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是 ⁠.－1x1＝5，x2＝7 14. 已知一个扇形的半径为6，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为 ⁠°.15. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，点D，E分别在AC，BC边上运动，连接AE，BD交于点F，且始终满足AD＝ CE，则下列结论：① ＝ ；②∠DFE＝135°；③△ABF面积的最大值是4 －4；④CF的最小值是2 －2 .其中正确的是 ⁠ .(填序号)60①②③④三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分.16. 解方程：x2－6x＝1.解：配方，得(x－3)2＝10，∴x－3＝± .解得x1＝3＋ ，x2＝3－ .解：配方，得(x－3)2＝10，∴x－3＝± .解得x1＝3＋ ，x2＝3－ .17. 解不等式组： 并在数轴上表示它的解集.解：解不等式①，得x＞ ，解不等式②，得x≤1，∴不等式组无解.在数轴上表示解集如图. 解：解不等式①，得x＞ ，解不等式②，得x≤1，∴不等式组无解.在数轴上表示解集如图.18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(4，2)，C(3，5)(每个小方格的边长均为1个单位长度).(1)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的A1B1C1；解：(1)如图，△A1B1C1即为所求. 解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.(2)求出点B旋转到点B1所经过的路径长. 解：(2)∵点B(4，2)，∴OB＝2 .∴路径长为 ＝ π.解：(2)∵点B(4，2)，∴OB＝2 .∴路径长为 ＝ π.四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.19. 某校团委为了解学生关注“北京冬奥会”情况，以随机抽样的方式对学生进行问卷调查，学生只选择一个运动项目作为最关注项目，把调查结果分为“滑雪”“滑冰”“冰球”“冰壶”“其他”五类，绘制成统计图1和图2.(1)本次抽样调查的学生人数共有 人；50(2)将条形统计图补充完整； 解：(2)50－28－5－4－3＝10(人).补全条形统计图如图.解：(2)50－28－5－4－3＝10(人).补全条形统计图如图.19. 某校团委为了解学生关注“北京冬奥会”情况，以随机抽样的方式对学生进行问卷调查，学生只选择一个运动项目作为最关注项目，把调查结果分为“滑雪”“滑冰”“冰球”“冰壶”“其他”五类，绘制成统计图1和图2.(3)在这次抽样的学生中，挑选了甲、乙、丙、丁4名学生进行相关培训，最后从这4名学生中随机抽取2名进行“爱我北京冬奥”主题演讲.请用画树状图或列表的方法求抽中的2名学生分别是甲和乙的概率.解：(3)用列表法表示所有可能出现的结果如下： 甲 乙 丙 丁 甲 乙甲 丙甲 丁甲 乙 甲乙 丙乙 丁乙 丙 甲丙 乙丙 丁丙 丁 甲丁 乙丁 丙丁 共有12种等可能结果，其中抽取的2名学生分别是甲和乙的结果有2种，∴抽中的2名学生分别是甲和乙的概率为 ＝ .解：(3)用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有12种等可能结果，其中抽取的2名学生分别是甲和乙的结果有2种，∴抽中的2名学生分别是甲和乙的概率为 ＝ .20. 已知方程组 与 有相同的解.(1)求m，n的值；解：(1)根据题意，得 解得 ∴ 解得 解：(1)根据题意，得 解得 ∴ 解得 20. 已知方程组 与 有相同的解.(2)已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程：x2｜m｜－7x－3n＝0的两个实数根，第三边BC的长为5，求△ABC的面积.解：(2)由(1)，得一元二次方程为x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4.∴△ABC的两边长分别为3，4.∵32＋42＝52，∴△ABC是直角三角形.∴S△ABC＝ ×3×4＝6.解：(2)由(1)，得一元二次方程为x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4.∴△ABC的两边长分别为3，4.∵32＋42＝52，∴△ABC是直角三角形.∴S△ABC＝ ×3×4＝6.21. 如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，连接CE，将△CBE沿CE对折，得到△CGE，延长EG交CD的延长线)求证：△HCE是等腰三角形；解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD. ∴∠BEC＝∠HCE. 由折叠的性质，得∠BEC＝∠HEC. ∴∠HCE＝∠HEC. ∴HE＝HC. ∴△HCE是等腰三角形.解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD. ∴∠BEC＝∠HCE. 由折叠的性质，得∠BEC＝∠HEC. ∴∠HCE＝∠HEC. ∴HE＝HC. ∴△HCE是等腰三角形.21. 如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，连接CE，将△CBE沿CE对折，得到△CGE，延长EG交CD的延长线，点E为AB的中点，∴BE＝2，BC＝CD＝4.由折叠的性质，得EG＝BE＝2，CG＝BC＝4，∠CGE＝∠B＝90°.∴∠CGH＝90°.设HD＝x，则HC＝x＋4.∵HC＝HE，∴HE＝x＋4.∴HG＝HE－GE＝x＋2.在Rt△HGC中，根据勾股定理，得CG2＋HG2＝CH2，∴42＋(x＋2)2＝(x＋4)2.解得x＝1.∴HD的长为1.解：(2)∵AB＝4，点E为AB的中点，∴BE＝2，BC＝CD＝4.由折叠的性质，得EG＝BE＝2，CG＝BC＝4，∠CGE＝∠B＝90°.∴∠CGH＝90°.设HD＝x，则HC＝x＋4.∵HC＝HE，∴HE＝x＋4.∴HG＝HE－GE＝x＋2.在Rt△HGC中，根据勾股定理，得CG2＋HG2＝CH2，∴42＋(x＋2)2＝(x＋4)2.解得x＝1.∴HD的长为1.五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分.22. 解决问题.草莓种植大棚的设计【生活背景】草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构.如图，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间.大棚的设计要保证通风性且利于采光.【建立模型】(1)如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线OPN，其中点P为抛物线 m.现以点O为坐标原点，ON所在直线为x轴，过点O且垂直于ON的直线为y轴建立平面直角坐标系，求此抛物线)根据题意，得抛物线)，则可设抛物线的解析式为y＝a(x－6)2＋4.∵抛物线.∴a＝－ .∴抛物线的解析式为y＝－ (x－6)2＋4.【解决问题】(2)如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中AB＝BE＝EC＝CD. 求门高AB的值；解：(2)设AB＝BE＝EC＝CD＝x m，∴点A(6－m，m).∵点A在抛物线(舍去).∴AB＝3 m.答：门高AB为3 m.【解决问题】(3)若在某一时刻，太阳光线(假设太阳光线为平行线)透过点A恰好照射到点N，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段OQ，求此时OQ的长.解：(3)根据题意，得点A(3，3)，N(12，0)，∴直线.又∵PQ∥AN，∴可设PQ为y＝－ x＋b.∴－ (x－6)2＋4＝－ x＋b.∴x2－15x＋9b＝0.∴Δ＝225－36b＝0.∴b＝ .∴直线PQ为y＝－ x＋ .令y＝0，∴x＝ .∴OQ＝ m.答：此时OQ的长为 m.解：(3)根据题意，得点A(3，3)，N(12，0)，∴直线.又∵PQ∥AN，∴可设PQ为y＝－ x＋b.∴－ (x－6)2＋4＝－ x＋b.∴x2－15x＋9b＝0.∴Δ＝225－36b＝0.∴b＝ .∴直线PQ为y＝－ x＋ .令y＝0，∴x＝ .∴OQ＝ m.答：此时OQ的长为 m.23. 四边形ABCD是☉O的内接矩形，点E是 上的一动点，连接AE，BE，DE，其中BE交AD于点F. (1)如图1，当AB＝ED时，①求证：△AEB≌△EAD；解：(1)①证明：∵ ＝ ，∴∠EDA＝∠ABE. ∵AB＝ED，∴ ＝ .∴∠EAD＝∠AEB. 在△AEB和△EAD中， ∴△AEB≌△EAD(AAS).解：(1)①证明：∵ ＝ ，∴∠EDA＝∠ABE. ∵AB＝ED，∴ ＝ .∴∠EAD＝∠AEB. 在△AEB和△EAD中， ∴△AEB≌△EAD(AAS).23. 四边形ABCD是☉O的内接矩形，点E是 上的一动点，连接AE，BE，DE，其中BE交AD于点F. (1)如图1，当AB＝ED时，②若∠EAD＝30°，连接BO，EO. 求证：四边形ABOE是菱形；解：(1)②证明：如图1，连接AO，BO，EO. ∵四边形ABCD是矩形，∠EAD＝30°，∴∠AEB＝∠EAD＝30°，∠BAD＝90°.∴∠ABE＝180°－∠AEB－∠BAE＝30°.∴∠ABE＝∠AEB. ∴AE＝AB. ∵∠ABE＝30°，∴∠AOE＝60°.∵OA＝OE，∴△AEO是等边三角形.∴AE＝EO. ∴AB＝EO＝BO＝AE. ∴四边形ABOE是菱形.解：(1)②证明：如图1，连接AO，BO，EO. ∵四边形ABCD是矩形，∠EAD＝30°，∴∠AEB＝∠EAD＝30°，∠BAD＝90°.∴∠ABE＝180°－∠AEB－∠BAE＝30°.∴∠ABE＝∠AEB. ∴AE＝AB. ∵∠ABE＝30°，∴∠AOE＝60°.∵OA＝OE，∴△AEO是等边三角形.∴AE＝EO. ∴AB＝EO＝BO＝AE. ∴四边形ABOE是菱形.23. 四边形ABCD是☉O的内接矩形，点E是 上的一动点，连接AE，BE，DE，其中BE交AD于点F. (2)如图2，若BC＝2AB＝2， ＝k，请用含k的代数式表示EA·ED的值.解：(2)如图2，连接BD，过点E作EH⊥AD于点H. ∵∠BAD＝90°，∴BD是☉O的直径.∴∠BED＝90°.∵ sin ∠EAH＝ ， ＝ ， sin ∠EBD＝ ，∴∠EBD＝∠EAH. ∴ ＝ ，即EA·ED＝EH·BD. ∵BC＝2AB＝2，∴BC＝2，AB＝1，BD＝ ＝ .∴EA·ED＝EH·BD＝ EH. ∵∠EHF＝∠BAF＝90°，∠HFE＝∠AFB，∴△EHF∽△BAF. 解：(2)如图2，连接BD，过点E作EH⊥AD于点H. ∵∠BAD＝90°，∴BD是☉O的直径. ∴∠BED＝90°.∵ sin ∠EAH＝ ， ＝ ， sin ∠EBD＝ ，∴∠EBD＝∠EAH. ∴ ＝ ，即EA·ED＝EH·BD. ∵BC＝2AB＝2，∴BC＝2，AB＝1，BD＝＝ .∴EA·ED＝EH·BD＝ EH. ∵∠EHF＝∠BAF＝90°，∠HFE＝∠AFB，∴△EHF∽△BAF. ∴ ＝ ＝k.∴EH＝k.∴EA·ED＝ k.∴ ＝ ＝k.∴EH＝k.∴EA·ED＝ k.$$2025年广东省初中学业水平考试数学仿真试卷(五)一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 某病毒的直径约为0.000 12 mm，将0.000 12用科学记数法表示为(B) A. 0.12×10－3 B. 1.2×10－4 C. 1.2×10－5 D. 12×10－32. 下列运算正确的是(D) A. a2＋a3＝a6 B. (a＋b)2＝a2＋b2 C. (ab)2＝ab2 D. (a2)4＝a8BD3. 已知一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是(B) A. 7 B. 8 C. 9 D. 104. 下列图形是正方体的展开图的是(A) A B C DBA5. 一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是(B) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差B6. 如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为(B) A. 72° B. 60° C. 45° D. 32°第6题图B7. 若关于x的分式方程 － ＝2无解，则a的值为(B) A. 1 B. －1 C. 3 D. －38. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－3，2)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于(A) A. －4和－3之间 B. －5和－4之间 C. －3和－2之间 D. －2和－1之间BA9. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则 sin ∠BAC＝(A) A. B. C. D. 第9题图A10. 如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上.若A，C两点的横坐标分别为m，n(m＞n＞0)，下列结论正确的是(B) A. m＋n＝1 B. m－n＝1 C. mn＝1 D. ＝1B二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11. 已知点P(－2，1)，则点P关于原点对称的点的坐标是 ⁠.12. 如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，则∠1的度数是 ⁠.第12题图(2，－1)52°13. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ⁠.第13题图14. 若实数m，n满足 ＋ ＝0，则3m＋n＝ ⁠. 715. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC长为半径作弧交AC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE. 有以下4个结论：①∠BCE＝36°；②BC＝AE；③ ＝ ；④ ＝ .其中正确的有 .(填序号)①②④第15题图三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分.16. 计算： －2 sin 45°＋(2 025－π)0－ . 解：原式＝ －1－ ＋1－4＝－4. 解：原式＝ －1－ ＋1－4＝－4. 17. 如图，已知∠A＝∠D，BF＝EC，AB∥DE. 求证：AC＝DF. 证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E. ∵BF＝CE，∴BC＝EF. ∵∠A＝∠D，∴△ABC≌△DEF. ∴AC＝DF. 证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E. ∵BF＝CE，∴BC＝EF. ∵∠A＝∠D，∴△ABC≌△DEF. ∴AC＝DF. 18. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛.各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀.数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学(每组8人)初赛的成绩整理成如图所示的统计图.数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 37.5％ 乙组 7.625 7 b 0.73 c请认真阅读上述信息，回答下列问题：(1)填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ⁠；7.5725％18. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛.各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀.数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学(每组8人)初赛的成绩整理成如图所示的统计图.数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 37.5％ 乙组 7.625 7 b 0.73 c(2)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组的成绩一样好，小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由.(写出两条即可)解：(2)(答案不唯一，写出两条即可)例如：①甲组成绩的优秀率为37.5％，高于乙组成绩的优秀率25％，所以从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；②虽然甲、乙两组成绩的平均数相等，但甲组成绩的方差为4.48，高于乙组成绩的方差0.73，所以从方差的角度看，乙组成绩更整齐；③甲组成绩的中位数为7.5分，高于乙组成绩的中位数7分，所以从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好等.因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面.解：(2)(答案不唯一，写出两条即可)例如：①甲组成绩的优秀率为37.5 ％，高于乙组成绩的优秀率25％，所以从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；②虽然甲、乙两组成绩的平均数相等，但甲组成绩的方差为4.48，高于乙组成绩的方差0.73，所以从方差的角度看，乙组成绩更整齐；③甲组成绩的中位数为7.5分，高于乙组成绩的中位数7分，所以从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好等.因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面.四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.19. 如图，在△ABC中，点D是AC上的一点.(1)以AD为一边，在△ABC内求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AB于点E； (要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)解：(1)如图，∠ADE即为所作. 解：(1)如图，∠ADE即为所作.(2)若AB＝4，AD＝1，BC＝3，求DE的长.解：(2)∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC. ∴ ＝ ，即 ＝ .∴DE＝ .解：(2)∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC. ∴ ＝ ，即 ＝ .∴DE＝ .20. 如图，某景区A，B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达.测得景点B在景点A的北偏东30°方向，从景点A出发向正北方向步行600 m到达C处，测得景点B在C处的北偏东75°方向.(1)求景点B和C处之间的距离； (结果保留根号)解：(1)如图，过点C作CD⊥AB于点D. ∵∠A＝30°，∠ADC＝90°，AC＝600 mm，∴CD＝ AC＝300 m.∵∠B＝75°－30°＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°.∴BC＝ CD＝300 m.解：(1)如图，过点C作CD⊥AB于点D. ∵∠A＝30°，∠ADC＝90°，AC＝600 mm，∴CD＝ AC＝300 m.∵∠B＝75°－30°＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°.∴BC＝ CD＝300 m.20. 如图，某景区A，B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达.测得景点B在景点A的北偏东30°方向，从景点A出发向正北方向步行600 m到达C处，测得景点B在C处的北偏东75°方向.(2)当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥.大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？ (结果保留整数.参考数据： ≈1.414， ≈1.732)解：(2)由(1)，可知AD＝AC· cos ∠A＝300 m，BD＝CD＝300 m.∴AB＝AD＋BD＝(300 ＋300) m.∴AC＋BC－AB＝600＋300 －(300 ＋300)≈205(cm).∴比原来少走205 m.解：(2)由(1)，可知AD＝AC· cos ∠A＝300 m，BD＝CD＝300 m.∴AB＝AD＋BD＝(300 ＋300) m.∴AC＋BC－AB＝600＋300 －(300 ＋300)≈205(cm).∴比原来少走205 m.21. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.温水的温度为30 ℃，流速为20 mL/s；开水的温度为100 ℃，流速为15 mL/s.整个接水的过程不计热量损失.物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度.阅读并结合以上信息解决下列问题：(1)甲同学先接温水，再接开水，得到一杯480 mL的水，如果接水的时间是27 s，求甲同学分别接温水和开水所用的时间；解：(1)设甲同学接温水所用的时间为m(s)，接开水所用的时间为n(s).根据题意，得 解得 答：甲同学接温水所用的时间为15 s，接开水所用的时间为12 s.解：(1)设甲同学接温水所用的时间为m(s)，接开水所用的时间为n(s).根据题意，得 解得 答：甲同学接温水所用的时间为15 s，接开水所用的时间为12 s.(2)乙同学要接一杯700 mL的温水和开水混合的水，现有两种方案可供选择，方案一：先接x(s)的温水，再接开水；方案二：先接x(s)的开水，再接温水.请你帮助乙同学分析一下哪种接水方案杯中水的温度会更高.解：(2)设乙同学按方案一接水时，杯中水的温度为a ℃，按方案二接水时，杯中水的温度为了b ℃，根据题意，得20x(a－30)＝(700－20x)(100－a)，15x(100－b)＝(700－15x)(b－30)，解得a＝100－2x，b＝1.5x＋30.当100－2x＞1.5x＋30时，x＜20，当0＜x＜20时，按接水方案一杯中水的温度会更高；当100－2x＝1.5x＋30时，x＝20，当x＝20时，两种接水方案杯中水的温度相同；当100－2x＜1.5x＋30时，x＞20，∵20x＜700，∴x＜35.∴当20＜x＜35时，按接水方案二杯中水的温度会更高.综上所述，当0＜x＜20时，按接水方案一杯中水的温度会更高；当20＜x＜35时，按接水方案二杯中水的温度会更高.解得a＝100－2x，b＝1.5x＋30.当100－2x＞1.5x＋30时，x＜20，当0＜x＜20时，按接水方案一杯中水的温度会更高；当100－2x＝1.5x＋30时，x＝20，当x＝20时，两种接水方案杯中水的温度相同；当100－2x＜1.5x＋30时，x＞20，∵20x＜700，∴x＜35.∴当20＜x＜35时，按接水方案二杯中水的温度会更高.综上所述，当0＜x＜20时，按接水方案一杯中水的温度会更高；当20＜x＜35时，按接水方案二杯中水的温度会更高.解：(2)设乙同学按方案一接水时，杯中水的温度为a ℃，按方案二接水时，杯中水的温度为了b ℃，根据题意，得20x(a－30)＝(700－20x)(100－a)，15x(100－b)＝(700－15x)(b－30)，五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分.22. 综合与应用.【阅读理解】为促进中学生全面发展，培养良好体质，某班同学在“大课间”开展“集体跳绳”运动.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线＋bx＋c的部分图象.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，若摇绳的两人之间间距为6 m，摇绳时两人手离地面均为 m；已知小丽的身高为1.575 m，在距离摇绳者A的水平距离1.5 m处，绳子刚好经过她的头顶.解：(1)∵摇绳的两人之间的间距为6 m，摇绳时两人手离地面均为 m，∴抛物线.根据题意，得抛物线).∴ 解得 ∴抛物线)求图中抛物线的解析式；(不需要求自变量的取值范围)解：(1)∵摇绳的两人之间的间距为6 m，摇绳时两人手离地面均为 m，∴抛物线.根据题意，得抛物线).∴ 解得 ∴抛物线 m，请问他适合参加本次运动吗？说明理由；解：(2)∵－0.1＜0，∴二次函数有最大值为 ＝ ＝1.8.∵1.8 m＜1.82 m，∴他不适合参加本次运动.(3)若多人进入跳绳区齐跳，且大家身高均为1.7 m，要求相邻两人之间的间距至少为0.6 m，试计算最多可供几人齐跳.解：(3)当y＝1.7时，－0.1x2＋0.6x＋0.9＝1.7，解得x1＝2，x2＝4，∴4－2＝2(m).∵相邻两人之间的间距至少为0.6 m，∴间距个数为2÷0.6＝3 .∴最多可供4人齐跳.解：(2)∵－0.1＜0，∴二次函数有最大值为 ＝ ＝1.8.∵1.8 m＜1.82 m，∴他不适合参加本次运动.(3)当y＝1.7时，－0.1x2＋0.6x＋0.9＝1.7，解得x1＝2，x2＝4，∴4－2＝2(m).∵相邻两人之间的间距至少为0.6 m，∴间距个数为2÷0.6＝3 .∴最多可供4人齐跳.23. 如图1，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD上的动点，以点E为圆心，DE长为半径作圆，AF与☉E相切于点F，连接EF并延长交BC于点G，连接AE，AG. (1)求证：△ABG≌△AFG；解：(1)证明：∵AF与☉E相切于点F，∴EF⊥AF. ∵四边形ABCD为正方形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝AB. 在Rt△ADE和Rt△AFE中， ∴Rt△ADE≌Rt△AFE(HL).∴AD＝AF. ∴AB＝AF. 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL).∴△ABG≌△AFG. 解：(1)证明：∵AF与☉E相切于点F，∴EF⊥AF. ∵四边形ABCD为正方形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝AB. 在Rt△ADE和Rt△AFE中， ∴Rt△ADE≌Rt△AFE(HL).∴AD＝AF. ∴AB＝AF. 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL).∴△ABG≌△AFG. 23. 如图1，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD上的动点，以点E为圆心，DE长为半径作圆，AF与☉E相切于点F，连接EF并延长交BC于点G，连接AE，AG. (2)当☉E与BC相切时，求BG的长；解：(2)当☉E与BC相切时，如图.∵☉E与BC相切，∴DE＝EC＝EF＝3.由(1)，可知△ABG≌△AFG，∴BG＝GF. 设BG＝GF＝x，则GC＝6－x，GE＝3＋x.∵∠BCD＝90°，∴GC2＋EC2＝GE2.∴(6－x)2＋32＝(3＋x)2.∴x＝2.∴BG＝2.解：(2)当☉E与BC相切时，如图.∵☉E与BC相切，∴DE＝EC＝EF＝3.由(1)，可知△ABG≌△AFG，∴BG＝GF. 设BG＝GF＝x，则GC＝6－x，GE＝3＋x.∵∠BCD＝90°，∴GC2＋EC2＝GE2.∴(6－x)2＋32＝(3＋x)2.∴x＝2.∴BG＝2.23. 如图1，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD上的动点，以点E为圆心，DE长为半径作圆，AF与☉E相切于点F，连接EF并延长交BC于点G，连接AE，AG. (3)如图2，AE与☉E相交于点H，连接BH并延长交AD于点K，当满足DK＋EG＋CG＝12时，求证：BK是☉E的切线)，可知△ABG≌△AFG，∴BG＝GF. ∵EG＝EF＋GF，∴EG＋CG＝EF＋GF＋CG＝EF＋BG＋CG＝EF＋BC＝EF＋6.∵DK＋EG＋CG＝12，∴DK＋EF＋6＝12.∴DK＋EF＝6＝DC. ∵DC＝DE＋EC，EF＝DE，∴DK＋EF＝EF＋EC. ∴DK＝EC. ∵AD＝CD，∴AD－DK＝CD－EC，∴AK＝DE. 在△ADE和△BAK中， ∴△ADE≌△BAK(SAS).∴∠AED＝∠BKA. 解：(3)证明：由(1)，可知△ABG≌△AFG，∴BG＝GF. ∵EG＝EF＋GF，∴EG＋CG＝EF＋GF＋CG＝EF＋BG＋CG＝EF＋BC＝EF＋6.∵DK＋EG＋CG＝12，∴DK＋EF＋6＝12.∴DK＋EF＝6＝DC. ∵DC＝DE＋EC，EF＝DE，∴DK＋EF＝EF＋EC. ∴DK＝EC. ∵AD＝CD，∴AD－DK＝CD－EC，∴AK＝DE. 在△ADE和△BAK中， ∴△ADE≌△BAK(SAS).∴∠AED＝∠BKA. ∵∠AED＋∠DAE＝90°.∴∠BKA＋∠DAE＝90°.∴∠AHK＝90°.∴EH⊥BK. ∵EH是☉E的半径，∴BK是☉E的切线.∵∠AED＋∠DAE＝90°.∴∠BKA＋∠DAE＝90°.∴∠AHK＝ 90°.∴EH⊥BK. ∵EH是☉E的半径，∴BK是☉E的切线年广东省初中学业水平考试数学仿真试卷(二)一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列各数中，比－1小的数是(C) A. － B. 0 C. － D. 2. 如图是由4个小正方体组合成的几何体，该几何体的俯视图是(A) A B C DCA3. 计算3x2·(－2x3)的结果是(B) A. －6x6 B. －6x54. 利用配方法解方程x2＋2x＝1时，方程可变形为(A) A. (x＋1)2＝2 B. (x－1)2＝2 C. (x＋1)2＝0 D. (x－1)2＝0BA C. －9x5 D. －8x65. 如图，摆放一副三角尺，∠B＝∠EDF＝90°，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED＝(A) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°第5题图A6. 一元一次不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(D) A B C DD7. 货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量平均数和方差分别为 ，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为 ， ，下列结论一定成立的是(C) A. ＜ B. ＞ C. s2＞ D. s2＜ C8. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则 cos ∠BDE的值等于(C) A. B. 第8题图C C. D. 9. 将一个半径为1的圆形纸片，按如图方式连续对折三次后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为(D) A. ，180° B. ，540° C. ，2 160° D. ，1 080°D10. 如图1，点P为菱形ABCD对角线AC上的一动点，点E为边CD上的一定点，连接PB，PE，BE. 图2是点P从点A匀速运动到点C时，△PBE的面积y随AP的长度x变化的关系图象(当点P在BE上时，令y＝0)，则菱形ABCD的边长为(A) A. 5 B. 6 C. 2 D. 2 A二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11. 计算：2－1＋(－5)0＝ ⁠.12. 分解因式：a2－9b2＝ ⁠.13. 某校举办“安全知识竞赛”，将参赛学生的竞赛成绩分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并制作成如图所示的扇形统计图，则“不合格”部分所对应扇形的圆心角α的度数为 ⁠. (a＋3b)(a－3b)36°第13题图14. 将抛物线个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线. 如图是同学们设计的“心”形图案，正方形ABCD的边长为a，以点A为圆心，AB长为半径作扇形，又分别以BC和CD的长为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ⁠.第15题图(1，2)a2三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分.16. 先化简，再求值： ÷(2－ )，其中x＝5.解：原式＝ ÷(－ )＝ ÷ ＝ · ＝ .当x＝5时，原式＝ ＝ .解：原式＝ ÷(－ )＝ ÷ ＝ · ＝ .当x＝5时，原式＝ ＝ .17. 如图，在△ABC中，∠C＝90°.(1)尺规作图：作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)解：(1)如图，DE即为所作. 解：(1)如图，DE即为所作.(2)在(1)的条件下，连接BD，当BC＝5 cm，AB＝13 cm时，求△BCD的周长.解：(2)∵∠C＝90°，BC＝5 cm，AB＝13 cm，∴AC＝ ＝12 cm.由(1)，得DE垂直平分AB，∴AD＝BD. ∴C△BCD＝CD＋BD＋BC＝CD＋AD＋BC＝AC＋BC＝12＋5＝17(cm).解：(2)∵∠C＝90°，BC＝5 cm，AB＝13 cm，∴AC＝ ＝12 cm.由(1)，得DE垂直平分AB，∴AD＝BD. ∴C△BCD＝CD＋BD＋BC＝CD＋AD＋BC＝AC＋BC＝12＋5＝17(cm).18. 在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1，2，－1.现将三张卡片放入一个不透明的盒子中搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字.(1)第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ⁠； (2)用画树状图或列表的方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率.解：(2)画树状图如图. 共有9种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上数字都为正数的结果有4种，∴两次抽出的卡片上数字都为正数的概率是 .解：(2)画树状图如图.共有9种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上数字都为正数的结果有4种，∴两次抽出的卡片上数字都为正数的概率是 .四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.19. 某天小明在家锻炼身体，第一组运动是做20个波比跳，40个深蹲，完成后，运动监测软件显示共消耗热量132大卡(大卡是热量单位)；第二组运动是做30个波比跳，30个深蹲，完成后，软件显示共消耗热量174大卡.(每个动作之间的衔接时间忽略不计)(1)小明做每个波比跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？解：(1)设小明做每个波比跳消耗热量x大卡，每个深蹲消耗热量y大卡.根据题意，得 解得 答：小明做每个波比跳消耗热量5大卡，每个深蹲消耗热量0.8大卡.解：(1)设小明做每个波比跳消耗热量x大卡，每个深蹲消耗热量y大卡.根据题意，得 解得 答：小明做每个波比跳消耗热量5大卡，每个深蹲消耗热量0.8大卡.19. 某天小明在家锻炼身体，第一组运动是做20个波比跳，40个深蹲，完成后，运动监测软件显示共消耗热量132大卡(大卡是热量单位)；第二组运动是做30个波比跳，30个深蹲，完成后，软件显示共消耗热量174大卡.(每个动作之间的衔接时间忽略不计)(2)若小明只做波比跳和深蹲两个动作，每个波比跳耗时5 s，每个深蹲也耗时5 s，小明想要通过10 min的锻炼，消耗至少200大卡，至少要做多少个波比跳？解：(2)设小明做m个波比跳，根据题意，得5m＋0.8× ≥200，解得m≥ .∴m取得最小正整数为25.答：至少要做25个波比跳.解：(2)设小明做m个波比跳，根据题意，得5m＋0.8× ≥200， 解得m≥ .∴m取得最小正整数为25.答：至少要做25个波比跳.20. 桑梯——登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具.图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知AB＝AC＝1.6 m，AD＝1.2 m，设∠BAC＝α，为保证安全，α的调整范围是30°≤α≤90°.(1)当α＝60°时，若人站在AD的中点E处，求此人离地面BC的高度；解：(1)如图1，过点E作EH⊥BC，垂足为点H，图1∵AB＝AC＝1.6 m，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形.∴∠C＝60°.∵点E是AD的中点，AD＝1.2 m，解：(1)如图1，过点E作EH⊥BC，垂足为点H，图1∵AB＝AC＝1.6 m，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形.∴∠C＝60°.∵点E是AD的中点，AD＝1.2 m，∴AE＝ AD＝0.6 m.∴EC＝AE＋AC＝2.2 m.在Rt△ECH中，EH＝EC· sin 60°＝2.2× ≈1.9(m)，∴此人离地面BC的高度约为1.9 m.∴AE＝ AD＝0.6 m.∴EC＝AE＋AC＝2.2 m.在Rt△ECH中，EH＝EC· sin 60°＝2.2× ≈1.9(m)，∴此人离地面BC的高度约为1.9 m.20. 桑梯——登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具.图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知AB＝AC＝1.6 m，AD＝1.2 m，设∠BAC＝α，为保证安全，α的调整范围是30°≤α≤90°.(2)在安全使用范围下，求桑梯顶端D到地面BC的距离范围.(参考数据： sin 75°≈0.97， cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73， ≈1.73， ≈1.41，精确到0.1 m)解：(2)如图2，过点D作DM⊥BC，垂足为点M，当∠BAC＝30°时，∵AB＝AC＝1.6 m，∴∠B＝∠C＝ ×(180°－∠BAC)＝75°.∵AD＝1.2 m，∴DC＝AD＋AC＝2.8 m.在Rt△DMC中，DM＝DC· sin 75°≈2.8×0.97≈2.7(m)；当∠BAC＝90°时，∵AB＝AC＝1.6 m，∴∠B＝∠C＝ ×(180°－∠BAC)＝45°.在Rt△DMC中，DM＝DC· sin 45°＝2.8× ＝1.4× ≈2.0(m).解：(2)如图2，过点D作DM⊥BC，垂足为点M，当∠BAC＝30°时，∵AB＝AC＝1.6 m，∴∠B＝∠C＝ ×(180°－∠BAC)＝75°.∵AD＝1.2 m，∴DC＝AD＋AC＝2.8 m.在Rt△DMC中，DM＝DC· sin 75°≈2.8×0.97≈2.7(m)；当∠BAC＝90°时，∵AB＝AC＝1.6 m，∴∠B＝∠C＝ ×(180°－∠BAC)＝45°.在Rt△DMC中，DM＝DC· sin 45°＝2.8× ＝1.4× ≈2.0(m).∴在安全使用范围下，桑梯顶端D到地面BC的距离范围约为2.0 m≤DM≤2.7 m.∴在安全使用范围下，桑梯顶端D到地面BC的距离范围约为2.0m ≤DM≤2.7 m.21. 如图，☉O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交☉O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线)求证：PD是☉O的切线)证明：如图，连接OD. ∵BC是☉O的直径，∴∠BAC＝90°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC. ∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC. ∵PD∥BC，∴OD⊥PD. ∵OD是☉O的半径，∴PD是☉O的切线)证明：如图，连接OD. ∵BC是☉O的直径，∴∠BAC＝90°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC. ∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC. ∵PD∥BC，∴OD⊥PD. ∵OD是☉O的半径，∴PD是☉O的切线. 如图，☉O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交☉O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线，求线)在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，∴BC＝ ＝5.∵∠BAD＝∠CAD，∴ ＝ .∴BD＝CD. ∵BC是☉O的直径，∴∠BDC＝90°.在Rt△DBC中，BD2＋CD2＝BC2，即2CD2＝BC2＝25，∴BD＝CD＝ .解：(2)在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，∴BC＝ ＝5.∵∠BAD＝∠CAD，∴ ＝ .∴BD＝CD. ∵BC是☉O的直径，∴∠BDC＝90°.在Rt△DBC中，BD2＋CD2＝BC2，即2CD2＝BC2＝25，∴BD＝CD＝ .21. 如图，☉O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交☉O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线)△PBD与△ACD是否相似？请说明理由.解：(3)△PBD∽△DCA. 理由如下：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC. ∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC. ∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠DCA＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠DCA. ∴△PBD∽△DCA. 解：(3)△PBD∽△DCA. 理由如下：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC. ∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC. ∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠DCA＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠DCA. ∴△PBD∽△DCA. 五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分.22. 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段BC上一动点，连接AE. (1)如图1，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接AH，EH. 求证：△AEH是等腰直角三角形；解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°.∵BF⊥AE，∴∠AGB＝90°.∴∠BAE＋∠ABG＝90°.∵∠ABG＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF. ∴△ABE≌△BCF. ∴AE＝BF，BE＝CF. ∵CF＝FH，∴BE＝FH. ∵∠HFC＝∠FCB＝90°，∴BC∥FH. ∴四边形BEHF为平行四边形.∴BF＝EH. ∴AE＝EH. ∵BF∥EH，BF⊥AE，∴AE⊥EH. ∴∠AEH＝90°.∴△AEH是等腰直角三角形.解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°.∵BF⊥AE，∴∠AGB＝90°.∴∠BAE＋∠ABG＝90°.∵∠ABG＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF. ∴△ABE≌△BCF. ∴AE＝BF，BE＝CF. ∵CF＝FH，∴BE＝FH. ∵∠HFC＝∠FCB＝90°，∴BC∥FH. ∴四边形BEHF为平行四边形.∴BF＝EH. ∴AE＝EH. ∵BF∥EH，BF⊥AE，∴AE⊥EH. ∴∠AEH＝90°.∴△AEH是等腰直角三角形.五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分.22. 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段BC上一动点，连接AE. (2)如图2，在(1)的条件下，记AH，EH分别交CD于点P，Q，连接PE. ①试探究PE，BE，DP之间的数量关系；解：(2)①如图，将△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABT，则点C，B，T共线.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°.由(1)，得△EAH是等腰直角三角形，∴∠EAH＝45°.∴∠EAT＝∠BAT＋∠BAE＝∠DAP＋∠BAE＝45°.∴∠EAT＝∠EAP. ∵AE＝AE，AT＝AP，∴△EAT≌△EAP(SAS).∴TE＝PE. ∵TE＝BT＋BE＝PD＋BE，∴PE＝BE＋PD. 解：(2)①如图，将△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABT，则点C，B，T共线.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°.由(1)，得△EAH是等腰直角三角形，∴∠EAH＝45°.∴∠EAT＝∠BAT＋∠BAE＝∠DAP＋∠BAE＝ 45°.∴∠EAT＝∠EAP. ∵AE＝AE，AT＝AP，∴△EAT≌△EAP(SAS).∴TE＝PE. ∵TE＝BT＋BE＝PD＋BE，∴PE＝BE＋PD. 五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分.22. 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段BC上一动点，连接AE. (2)如图2，在(1)的条件下，记AH，EH分别交CD于点P，Q，连接PE. ②设BE＝m，△PQE中边PE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值.解：(2)②由①，得∵△EAT≌△EAP，∴∠AET＝∠AEP. ∵∠AEH＝90°，∴∠AET＋∠CEQ＝90°，∠AEP＋∠PEQ＝90°.∴∠CEQ＝∠PEQ. ∴点Q到PE的距离的长为CQ＝h.∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CEQ. ∴△BAE∽△CEQ. ∴ ＝ .∴ ＝ .∴h＝－m2＋m＝－ ＋ .∵－1＜0，∴当m＝ 时，h的值最大，最大值为 .s解：(2)②由①，得∵△EAT≌△EAP，∴∠AET＝∠AEP. ∵∠AEH＝90°，∴∠AET＋∠CEQ＝90°，∠AEP＋∠PEQ＝90°.∴∠CEQ＝∠PEQ. ∴点Q到PE的距离的长为CQ＝h.∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CEQ. ∴△BAE∽△CEQ. ∴ ＝ .∴ ＝ .∴h＝－m2＋m＝－ ＋ .∵－1＜0，∴当m＝ 时，h的值最大，最大值为 .23. 【发现问题】小明和小强做弹球游戏，如图1，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为0.4 m的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜.【提出问题】小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？【分析问题】小强以斜坡底端O为坐标原点，地面水平线所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点A的坐标为(－1，3.36)，第一次弹起的运行路线)，第二次弹起的最大高度为1.21 m.小强通过这些数据经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜.【解决问题】(1)求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线)根据题意，得乒乓球第一次弹起运行路线)，设乒乓球第一次弹起运行路线)，得3.36＝a(－1＋0.5)2＋3.61，解得a＝－1.∴乒乓球第一次弹起运行路线.解：(1)根据题意，得乒乓球第一次弹起运行路线)，设乒乓球第一次弹起运行路线)，得3.36＝a(－1＋0.5)2＋3.61，解得a＝－1.∴乒乓球第一次弹起运行路线.【解决问题】(2)求乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的距离；解：(2)令y1＝0，则－(x＋0.5)2＋3.61＝0.解得x1＝1.4，x2＝－2.4(不合题意，舍去).∴OB＝1.4 m.∴乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的距离为1.4 m.解：(2)令y1＝0，则－(x＋0.5)2＋3.61＝0.解得x1＝1.4，x2＝－2.4(不合题意，舍去).∴OB＝1.4 m.∴乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的距离为1.4 m.【解决问题】(3)小强将木板立在距斜坡底端O多远的范围内，才能确保自己获胜？解：(3)∵乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最大高度为1.21 m，∴设乒乓球第二次弹起运行路线＝－(1.4－h)2＋1.21，解得h1＝2.5，h2＝0.3(不合题意，舍去).∴乒乓球第二次弹起运行路线)2＋1.21＝0.解：(3)∵乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最大高度为1.21 m，∴设乒乓球第二次弹起运行路线＝－(1.4－h)2＋1.21，解得h1＝2.5，h2＝0.3(不合题意，舍去).∴乒乓球第二次弹起运行路线)2＋1.21＝0.解得x1＝3.6，x2＝1.4(不合题意，舍去).当y2＝0.4时，则－(x－2.5)2＋1.21＝0.4.解得x1＝3.4，x2＝1.6(不合题意，舍去).∴当3.4 m≤x≤3.6 m时，小强确保获胜，即小强将木板立在距斜坡底端O大于等于3.4 m，小于等于3.6 m时才能确保自己获胜.解得x1＝3.6，x2＝1.4(不合题意，舍去).当y2＝0.4时，则－(x－2.5)2＋1.21＝0.4.解得x1＝3.4，x2＝1.6(不合题意，舍去).∴当3.4 m≤x≤3.6 m时，小强确保获胜，即小强将木板立在距斜坡底端O大于等于3.4 m，小于等于3.6 m时才能确保自己获胜.$$2025年广东省初中学业水平考试数学仿真试卷(一)一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列各数是无理数的是(B) A. B. C. D. 3.141 592 653 42. 下列计算正确的是(D) A. 2a－a＝2 B. a2＋b2＝a2b2 C. (－2a)3＝8a3 D. (－a3)2＝a6BD3. 据海口海关统计，截至2022年1月29日，海关共办理106艘(架、辆)“零关税”进通工具及游艇通关手续，进口总货值达24亿元人民币.其中数据“24亿”用科学记数法表示为(B) A. 2.4×108 B. 2.4×109 C. 24×108 D. 0.24×1094. 已知实数a，b满足a＋1＞b＋1，则下列选项不一定正确的是(D) A. a＞b B. a＋2＞b＋2 C. －a＜－b D. 2a＞3bBD5. 下列调查中，最适合采用抽样调查方式的是(D) A. 对某飞机上旅客随身携带易燃易爆危险物品情况的调查 B. 对我国首艘国产“002型”航母各零部件质量情况的调查 C. 对某班学生的数学期末成绩情况的调查 D. 对全国公民知晓“社会主义核心价值观”内涵情况的调查6. 一元二次方程x2－x－1＝0的根的情况是(A) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断DA7. “花影遮墙， 峰峦叠窗.”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素，图1中的窗棂是冰裂纹窗，图2是这种窗棂中的部分图案，若∠1＝∠2＝75°，∠3＝∠4＝65°，则∠5的度数是(A) A. 80° B. 75° C. 65° D. 60°A8. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的密度ρ(单位：g/cm3)的反比例函数，其图象如图所示(ρ＞0).下列说法正确的是(C) A. 当液体密度ρ≥1 g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20 cm B. 当液体密度ρ＝2 g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40 cm C. 当浸在液体中的高度0 cm＜h≤25 cm时，该液体的密度ρ≥0.8 g/cm3 D. 当液体的密度0 g/cm3＜ρ≤1 g/cm3时， 浸在液体中的高度h≤20 cmC9. 如图，△ABC的内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，则线段DI与DB的关系是(A) A. DI＝DB B. DI＞DB C. DI＜DB D. 不确定第9题图A10. 如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成.在正方形ABCD中，AB＝10.下列三个结论：①若tan∠ADF＝ ，则EF＝2；②若Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将△ABG绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，则BG的最大值为5 ＋5.其中正确的结论是(D) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③D第10题图二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11. 如果∠α＝85°，那么∠α的补角等于 ⁠°.12. 分解因式：3a3－6a2＋3a＝ ⁠.13. 如图，物理实验中利用一个半径为6 cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子的一端，使得定滑轮逆时针转动了120°，此时砝码被提起了 cm.(结果保留π)953a(a－1)24π第13题图14. 如图，矩形ABCD的顶点A，C在反比例函数y＝ (k＞0，x＞0)的图象上，若点A的坐标为(3，4)，AB＝2，AD∥x轴，则点C的坐标为 ⁠.第14题图(6，2)15. 如图，已知直线交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则△A2 024B2 023B2 024的面积为 ⁠.第15题图24 047三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分.16. 计算：(1) －2 sin 60°－｜2－ ｜＋(1－π)0；解：原式＝2－2× －(2－ )＋1＝2－ －2＋ ＋1＝1.(2)a(a＋2)－(a＋b)(a－b)－b(b－3).解：原式＝a2＋2a－a2＋b2－b2＋3b＝2a＋3b.解：原式＝2－2× －(2－ )＋1＝2－ －2＋ ＋1＝1.解：原式＝a2＋2a－a2＋b2－b2＋3b＝2a＋3b.17. 解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来.解： 解： 解不等式①，得x≥－2，解不等式②，得x＜4，∴不等式组的解集为－2≤x＜4.解集在数轴上表示如图. 解不等式①，得x≥－2，解不等式②，得x＜4，∴不等式组的解集为－2≤x＜4.解集在数轴上表示如图.18. 如图，点D在AC上，BC，DE交于点F，BA＝BD，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE. (1)求证：△ABC≌△DBE；解：(1)证明：∵∠ABD＝∠CBE，∴∠ABD＋∠DBF＝∠CBE＋∠DBF，即∠ABC＝∠DBE. 在△ABC和△DBE中， ∴△ABC≌△DBE(SAS).解：(1)证明：∵∠ABD＝∠CBE，∴∠ABD＋∠DBF＝∠CBE＋∠DBF，即∠ABC＝∠DBE. 在△ABC和△DBE中， ∴△ABC≌△DBE(SAS).18. 如图，点D在AC上，BC，DE交于点F，BA＝BD，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE. (2)若∠ABD＝20°，求∠CDE的度数.解：(2)∵AB＝BD，∠ABD＝20°，∴∠BAD＝∠BDA＝ ＝80°.由(1)，得△ABC≌△DBE，∴∠BAD＝∠BDE＝80°.∴∠CDE＝180°－∠BDA－∠BDE＝20°.解：(2)∵AB＝BD，∠ABD＝20°，∴∠BAD＝∠BDA＝ ＝80°.由(1)，得△ABC≌△DBE，∴∠BAD＝∠BDE＝80°.∴∠CDE＝180°－∠BDA－∠BDE＝20°.四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.19. 如图，在锐角三角形ABC中，AC＜AB＜BC，点P在线)尺规作图：求作∠APB＝90°；(保留作图痕迹)解：(1)如图，∠APB即为所作. 解：(1)如图，∠APB即为所作.19. 如图，在锐角三角形ABC中，AC＜AB＜BC，点P在线， sin B＝ ，求BC的长.解：(2)由(1)，得∠APB＝90°.在Rt△ABP中， sin B＝ ＝ ，∵AB＝6，∴AP＝4.∴BP＝ ＝2 .在Rt△ACP中，AC＝5，AP＝4，∴CP＝ ＝3.∴BC＝CP＋BP＝3＋2 .解：(2)由(1)，得∠APB＝90°.在Rt△ABP中， sin B＝ ＝ ，∵AB＝6，∴AP＝4.∴BP＝ ＝2 .在Rt△ACP中，AC＝5，AP＝4，∴CP＝ ＝3.∴BC＝CP＋BP＝3＋2 .20. 为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动.该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动(每人必选且只选一种)”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中信息，解答下列问题：(1)参加问卷调查的学生共有 人；60(2)条形统计图中m的值为 ，扇形统计图中α的度数为 ⁠；1190°(3)根据调查结果，可估计该校600 名学生中最喜欢“音乐社团”的约有 人；10020. 为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动.该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动(每人必选且只选一种)”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.(3)根据调查结果，可估计该校600 名学生中最喜欢“音乐社团”的约有 人；10020. 为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动.该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动(每人必选且只选一种)”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.(4)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率.解：(4)画树状图如图. 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有2种，故恰好选中甲和乙两名同学的概率为 ＝ .解：(4)画树状图如图.共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有2种，故恰好选中甲和乙两名同学的概率为 ＝ .21. 为落实“数字中国”的建设工作，某市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成.已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天.(1)甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？解：(1)设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室.根据题意，得 － ＝3.解得x＝4.经检验，x＝4是分式方程的解且符合题意.∴1.5x＝1.5×4＝6.答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室.解：(1)设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室.根据题意，得 － ＝3.解得x＝4.经检验，x＝4是分式方程的解且符合题意.∴1.5x＝1.5×4＝6.答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室.21. 为落实“数字中国”的建设工作，某市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成.已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天.(2)已知甲公司安装费每天1 000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18 000元，则最多安排甲公司工作多少天？解：(2)设安排甲公司工作y天，则乙公司工作()天.根据题意，得1 000y＋ ×500≤18 000.解得y≤12.答：最多安排甲公司工作12天.解：(2)设安排甲公司工作y天，则乙公司工作()天.根据题意，得1 000y＋ ×500≤18 000.解得y≤12.答：最多安排甲公司工作12天.五、解答题(三)：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.22. 综合与实践.【问题情境】通过查看出厂包装袋上的数据，数学活动小组的同学发现A4纸的长与宽分别为297 mm和210 mm，其比值为 ≈1.414，而 ≈1.414，他们上网查阅资料也发现A4纸的长与宽的比是一个特殊值“ ”.不妨定义长与宽的比为 ∶1的矩形为“标准矩形”.【操作实践】如图1，数学活动小组的同学在几何画板软件上画了一个正方形ABCD，连接对角线BD，在射线DC上截取DE＝DB，过点E作EF⊥AB交AB的延长线)求证：四边形AFED为“标准矩形”；解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝ AD＝1， ∠A＝90°.∴BD＝ ＝ .∴DE＝BD＝ .∴DE∶AD＝ ∶1.∴四边形AFED为“标准矩形”.解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝ AD＝1， ∠A＝90°.∴BD＝ ＝ .∴DE＝BD＝ .∴DE∶AD＝ ∶1.∴四边形AFED为“标准矩形”.(2)如图2，数学活动小组的同学在图1的基础上隐藏了线段BC，在线段EF上取一点P，连接BP，DP. ①当DP平分∠BDE时，求PF的长；解：(2)①∵DP平分∠BDE，∴∠BDP＝∠EDP. 又∵DB＝DE，DP＝DP，∴△BDP≌△EDP(SAS).∴∠DBP＝∠E＝90°， BP＝EP. ∵AD＝AB， ∠A＝90°，∴∠ABD＝45°.∴∠PBF＝45°.∴△PBF是等腰直角三角形.∴PB＝ PF. 设PF＝x，则PB＝PE＝1－x.∴1－x＝ x.解得x＝ －1.∴PF＝ －1.解：(2)①∵DP平分∠BDE，∴∠BDP＝∠EDP. 又∵DB＝DE，DP＝DP，∴△BDP≌△EDP(SAS).∴∠DBP＝∠E＝90°， BP＝EP. ∵AD＝AB， ∠A＝90°，∴∠ABD＝45°.∴∠PBF＝45°.∴△PBF是等腰直角三角形.∴PB＝ PF. 设PF＝x，则PB＝PE＝1－x.∴1－x＝ x.解得x＝ －1.∴PF＝ －1.(2)如图2，数学活动小组的同学在图1的基础上隐藏了线段BC，在线段EF上取一点P，连接BP，DP. ②当△BDP的周长最小时，求∠PBF的正切值.解：(2)②如图，延长BF至点B1，使得FB1＝FB，连接DB1，交EF于点P，连接PB，则此时△BDP的周长最小.∵AF＝BD＝ ，AB＝1，∴FB1＝FB＝ －1.∴AB1＝ ＋ ＝2 －1.由轴对称的性质，得∠PBF＝∠PB1F. ∴tan∠PBF＝tan∠PB1F＝ ＝ ＝ .解：(2)②如图，延长BF至点B1，使得FB1＝FB，连接DB1，交EF于点P，连接PB，则此时△BDP的周长最小.∵AF＝BD＝ ，AB＝1，∴FB1＝FB＝ －1.∴AB1＝ ＋ ＝2 －1.由轴对称的性质，得∠PBF＝∠PB1F. ∴tan∠PBF＝tan∠PB1F＝ ＝ ＝ .23. 如图，抛物线与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，OB＝OC＝3OA. (1)求抛物线的解析式及对称轴；解：(1)∵y＝ax2－bx－3，∴点B(0，－3).∴OB＝3.∵OB＝OC＝3OA，∴OA＝1，OC＝3.∴点A(－1，0)，C(3，0).把点A，C的坐标代入y＝ax2－bx－3，得 解得 ∴抛物线，对称轴为直线.∵OB＝OC＝3OA，∴OA＝1，OC＝3.∴点A(－1，0)，C(3，0).把点A，C的坐标代入y＝ax2－bx－3，得 解得 ∴抛物线，对称轴为直线. 如图，抛物线与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，OB＝OC＝3OA. (2)如图1，连接AB，点M是对称轴上的一点且在第四象限，若△AMB是以∠MBA为底角的等腰三角形，求点M的坐标；解：(2)设点M(1，m).∵点A(－1，0)，B(0，－3)，∴MA2＝4＋m2，MB2＝1＋(m＋3)2，AB2＝10.①当MA＝AB时，MA2＝AB2，即4＋m2＝10，解得m＝ 或－ .∵点M在第四象限，∴点M(1，－ ).②当MA＝MB时，MA2＝MB2，即4＋m2＝1＋(m＋3)2，解得m＝－1.∴点M(1，－1).综上所述，点M的坐标为(1，－ )或(1，－1).解：(2)设点M(1，m).∵点A(－1，0)，B(0，－3)，∴MA2＝4＋m2，MB2＝1＋(m＋3)2，AB2＝10.①当MA＝AB时，MA2＝AB2，即4＋m2＝10，解得m＝ 或－ .∵点M在第四象限，∴点M(1，－ ).②当MA＝MB时，MA2＝MB2，即4＋m2＝1＋(m＋3)2，解得m＝－1.∴点M(1，－1).综上所述，点M的坐标为(1，－ )或(1，－1).23. 如图，抛物线与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，OB＝OC＝3OA. (3)如图2，连接AB，点P在抛物线∠ABO时，求点P的坐标.解：(3)如图，作点A关于y轴的对称点E，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F. ∵∠ABO＝∠EBO，∴∠ABE＝2∠ABO. ∵点A(－1，0)，B(0，－3)，∴BE＝AB＝ .∵S△ABE＝ AE·OB＝ BE·AF，∴AF＝ ＝ .解：(3)如图，作点A关于y轴的对称点E，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F. ∵∠ABO＝∠EBO，∴∠ABE＝2∠ABO. ∵点A(－1，0)，B(0，－3)，∴BE＝AB＝ .∵S△ABE＝ AE·OB＝ BE·AF，∴AF＝ ＝ .在Rt△ABF中，BF＝ ＝ ，∴tan∠ABE＝ ＝ .设点P(n，n2－2n－3).∵∠PAC＝2∠ABO＝∠ABE，∴tan∠PAC＝ ，即 ＝ .在Rt△ABF中，BF＝ ＝ ，∴tan∠ABE＝ ＝ .设点P(n，n2－2n－3).∵∠PAC＝2∠ABO＝∠ABE，∴tan∠PAC＝ ，即 ＝ .①当点P在第一象限时， ＝ ，解得n＝ 或－1(舍去)，∴点P .①当点P在第一象限时， ＝ ，解得n＝ 或－1(舍去)，∴点P .②当点P在第四象限时， ＝ ，解得n＝ 或－1(舍去).∴点P(，－ ).综上所述，点P的坐标是 或 ②当点P在第四象限时， ＝ ，解得n＝ 或－1(舍去).∴点P(，－ ).综上所述，点P的坐标是 或 $$